Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为

π

2

，其中的一个对称中心是（

π

3

，0）且函数的一个最小值为-2．
（1）求函数f（x）的解析式，并求当x∈[0，

π

6

]时f（x）的值域；
（2）若函数f（x）在区间（

π

12

，b）上有唯一的零点，求实数b的最大值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）由最小值求得得A，由相邻两条对称轴之间的距离求得函数的最小正周期，继而利用周期公式求得得ω，把点(

π

3

，0)在代入三角函数解析式求得φ得到函数解析式，进而利用三角函数的性质求得其值域．
（2）利用三角函数图象和基本性质，根据函数的周期获得答案．

解答： 解：（1）∵最小值为-2，
∴A=2．
∵相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

，
∴

T

2

=

π

2

，即T=π，
∴ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
∵点(

π

3

，0)在图象上
∴2sin(2×

π

3

+ϕ)=0，
即sin(

2π

3

+ϕ)=0，
∴

2π

3

+ϕ=kπ（k∈Z），
∴φ=kπ-

2π

3

（k∈Z）．
又ϕ∈(0，

π

2

)，
∴φ=

π

3

，
∴f（x）=2sin(2x+

π

3

)；    
∵x∈[0，

π

6

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]，
当2x+

π

3

=

π

3

，即x=0时，f（x）取得最大值0，
当2x+

π

3

=

7π

12

，即x=

π

8

时，f（x）取得最小值-2，
故f（x）的值域为[-2，0]．                        
（2）当x=

π

12

时，f（

π

12

）=2sin（

π

6

+

π

3

）=2，
由函数f（x）在一个周期内的图象可知，f（x）要在区间(

π

12

，b)上有唯一零点，b最大可取

5π

6

．
∴b的最大值为

5π

6

．

点评：本题主要考查了三角函数图象和性质．考查了学生分析问题的能力．