Question

已知函数f（x）=ax²-2bx+a（a，b∈R）
（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，求方程f（x）=0恰有两个不相等实根的概率；
（2）若a从区间（0，3）中任取一个数，b从区间（0，2）中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．

Answer 1

考点：几何概型,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（1）求出方程f（x）=0有两个不相等实根的等价条件，利用古典概型的概率公式，即可得到结论．
（2）作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式求出相应的面积即可得到结论．

解答： 解：（1）若方程f（x）=0有两个不相等实根，则△=4b²-4a²＞0，即b²＞a²，∴b＞a，
当a=0时，b=1，2，3，
当a=1时，b=2，3，
当a=2时，b=3，共有6种结果，即满足条件的有6种结果，
则根据古典概型的概率公式可得方程f（x）=0恰有两个不相等实根的概率

6

4×4

=

3

8

．
（2）若a从区间（0，3）中任取一个数，b从区间（0，2）中任取一个数，
则0＜a＜3且0＜b＜2，对应的区域为矩形，面积S=3×2=6，
方程f（x）=0没有实根，则△=4b²-4a²＜0，即b²＜a²，∴b＜a，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则B（2，2），C（3，2），D（3，0），
则题型BCDO的面积S=

1+3

2

×2=4
则由几何概型的概率公式可得方程f（x）=0没有实根

4

6

．

点评：本题主要考查概率的计算，根据古典关系和几何概型的概率公式是解决本题的关键．