有下列4个命题:①函数f(x)=lg(cosx-1+1-cosx+1)既是奇函数又是偶函数,②函数f(x)=4sin(2x+π3).图象关于点(-π6.0)对称.也关于直线x=π6对称,③若f(x)是R上周期为5的奇函数.且满足f-f(4)=-1,④已知sinαsinβ=p.cosαcosβ=q.且p≠±1.q≠0.则tanαtanβ=p(q2-1)q(p2-1),其中假命题的序号� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

有下列4个命题：
①函数f（x）=lg（

cosx-1

1-cosx

+1）既是奇函数又是偶函数；
②函数f（x）=4sin（2x+

）（x∈R），图象关于点（-

，0）对称，也关于直线x=

对称；
③若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）-f（4）=-1；
④已知

sinα

sinβ

=p，

cosα

cosβ

=q，且p≠±1，q≠0，则tanαtanβ=

p(q2-1)

q(p2-1)

；
其中假命题的序号是

．

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：对于①，求出函数的定义域，化简后得到f（x）=0，由此可知命题①为真命题；
对于②，直接求出f(-

)的值加以判断；
对于③，由函数的周期性、奇偶性结合已知求出f（3）、f（4）的值加以判断；
对于④，通过三角恒等变换求解tanαtanβ的值进行判断．

解答： 解：对于①，由

cosx-1≥0

1-cosx≥0

，得cosx=1，
∴函数定义域为{x|x=2kπ，k∈Z}．
∴f（x）=lg（

cosx-1

1-cosx

+1）=lg1=0．
函数f（x）既是奇函数又是偶函数．命题①为真命题；
对于②，当x=-

时，f（x）=4sin[2×（-

）+

]=4sin0=0．
∴图象关于点（-

，0）对称，不关于直线x=

对称．命题②为假命题；
对于③，若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，
则f（3）=f（3-5）=f（-2）=-f（2）=-2．f（4）=f（4-5）=f（-1）=-f（1）=-1．
∴f（3）-f（4）=-1．命题③为真命题；
对于④，

sinα

sinβ

=p，

cosα

cosβ

=q，且p≠±1，q≠0，
∴sinα=psinβ，cosα=qcosβ．
sin²α+cos²α=p²sin²β+q²cos²β=（p²-q²）sin²β+q²（sin²β+cos²β）=1．
则sin2β=

1-q2

p2-q2

．
又

tanβ

tanα

cosαsinβ

sinαcosβ

．
∴tanαtanβ=

tan2β=

sin2β

1-sin2β

1-q2

p2-q2

1-q2

p2-q2

p(1-q2)

q(p2-1)

．
命题④为假命题．
∴假命题的序号是②④．
故答案为：②④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了三角恒等变换的应用，是中档题．

练习册系列答案

天利38套高中名校期中期末联考测试卷系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>