Question

【题目】若方程有实数根，则称为函数的一个不动点.已知函数（）.

（1）若，求证：有唯一不动点；

（2）若有两个不动点，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）依题意，令（），利用导数可知在上单调递减，在上单调递增，且时，取的最小值0，由此即可得出结论；

（2）先证明，则有两个不动点等价于函数在上有两个不同的零点，求出的导数，得到其单调性，得到函数的最小值，即可得到的取值范围，再证明时，有两个零点；

解：（1）证明：当时，由得，

令（），

则，易知在上恒成立，

故当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

∴，

∴方程有唯一实数根，故有唯一不动点；

（2）先证明，令，则，，当时，，当时，，从而，因此在上单调递增，故，所以，即，有两个不动点等价于函数在上有两个不同的零点，

易知，，当时，，当时，，所以有，所以，即，

下面说明时，有两个零点，取有，故，取，且，故，又，由零点存在性定理知在存在唯一，使得，在内存在使，综上有.