【题目】在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期,我市教育局提出“停课不停学”的口号,鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系,在高三年级中随机选取名学生进行跟踪问卷,其中每周线上学习数学时间不少于
小时的有
人,在这
人中分数不足
分的有
人;在每周线上学习数学时间不足于
小时的人中,在检测考试中数学平均成绩不足
分的占
.
(1)请完成列联表;并判断是否有
的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”;
分数不少于 | 分数不足 | 合计 | |
线上学习时间不少于 | |||
线上学习时间不足 | |||
合计 |
(2)在上述样本中从分数不足于分的学生中,按照分层抽样的方法,抽到线上学习时间不少于
小时和线上学习时间不足
小时的学生共
名,若在这
名学生中随机抽取
人,求这
人每周线上学习时间都不足
小时的概率.(临界值表仅供参考)
(参考公式,其中
)
【答案】(1)列联表见解析,有把握;(2).
【解析】
(1)根据题干信息可完善列联表,并计算出
的观测值,结合临界值表可得出结论;
(2)设抽到线上学习时间不足于小时的
个学生分别记为
、
、
、
,线上学习时间不足
小时的
个学生记为
,列举出所有的基本事件,并确定事件“抽到的
人每周线上学习时间都不足
小时”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
(1)列联表如下:
分数不少于 | 分数不足 | 合计 | |
线上学习时间不少于 | |||
线上学习时间不足 | |||
合计 |
,
有
的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”;
(2)抽到线上学习时间不足于小时的学生
人,设为
、
、
、
,
线上学习时间不足小时的学生
人,设为
,
所有基本事件有:、
、
、
、
、
、
、
、
、
,共
种,
其中人每周线上学习时间都不足
小时有:
、
、
、
、
、
,共
种,
故人每周线上学习时间都不足
小时的概率为
(或
).
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】正五边形的对角线
分别与对角线
、
交于点
、
,对角线
分别与对角线
、
交于点
、
,对角线
与对角线
交于点
. 设由图2中的10个点
、
、
、
、
、
、
、
、
、
和线段构成的等腰三角形的集合为
.
(1)求中元素的数目;
(2)若将这10个点中的每个点任意染为红、蓝两种颜色之一,问是否一定存在中的一个等腰三角形,其三个顶点同色?
(3)若将这10个点中的任意个点染为红色,使得一定存在
中的一个等腰三角形,其三个顶点同为红色,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设是圆
上的任意一点,
是过点
且与
轴垂直的直线,
是直线
与
轴的交点,点
在直线
上,且满足
.当点
在圆
上运动时,记点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)已知直线与曲线
交于
,
两点,点
关于
轴的对称点为
,证明:直线
过定点
.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx–2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,M为AB的中点,将△ADM沿DM翻折.在翻折过程中,当二面角A—BC—D的平面角最大时,其正切值为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】设是一个
的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数.若
中的一个
方格表的所有数的和为10的倍数,则称其为“好矩形”;若
中的一个
的小方格不包含于任何一个好矩形,则称其为“坏格”.求
中坏格个数的最大值.
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【题目】已知 是平面内凸三十五边形的35个顶点,且
中任何两点之间的距离不小于
. 证明:从这35个点中可以选出五个点,使得这五个点中任意两点之间的距离不小于3.
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【题目】设等比数列{}的公比为 q(q > 0,q = 1),前 n 项和为 Sn,且 2a1a3 = a4,数列{
}的前 n 项和 Tn 满足2Tn = n(bn - 1),n ∈N*,b2 = 1.
(1) 求数列 {},{
}的通项公式;
(2) 是否存在常数 t,使得 {Sn+ } 为等比数列?说明理由;
(3) 设 cn =,对于任意给定的正整数 k(k ≥2), 是否存在正整数 l,m(k < l < m), 使得 ck,c1,cm 成等差数列?若存在,求出 l,m(用 k 表示),若不存在,说明理由.
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