【题目】正五边形
的对角线
分别与对角线
、
交于点
、
，对角线
分别与对角线
、
交于点
、
，对角线与对角线交于点
. 设由图2中的10个点
、
、
、
、
、、、、、和线段构成的等腰三角形的集合为
.
（1）求中元素的数目；
（2）若将这10个点中的每个点任意染为红、蓝两种颜色之一，问是否一定存在中的一个等腰三角形，其三个顶点同色？
（3）若将这10个点中的任意
个点染为红色，使得一定存在中的一个等腰三角形，其三个顶点同为红色，求的最小值.
【答案】(1)35;(2)见解析；（3）6.
【解析】
（1）因为由图2中的10个点
、
、
、
、
、
、
、
、
、
和线段构成的三角形均为等腰三角形，所以，
.
（2）由抽屉原则，知、、、、中一定有三个点同色，且这三个点构成的三角形属于
，故一定存在中的等腰三角形，其三个顶点同色.
（3）若
，则将、、、、染为红色，于是，不存在属于的顶点同为红色的三角形.
若
，当、、、、中有不少于三个红点时，一定存在属于且顶点同为红色的三角形；当、、、、中不少于三个红点时，、、、、中至少有四个红点.
若、、、、中恰有四个红点，不妨假设、、、为红点，则、、、、中至少有两个红点，不妨假设的红点，则
是属于且顶点同为红色的三角形；否则，、同为红色，于是，
是属于且顶点间同为红色的三角形.
因此，
的最小值为6.
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【题目】一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列
的前
项和为
，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于
的项的和为
．
（Ⅰ）求
和
；
(Ⅱ)判断和的大小，不用证明；
（Ⅲ）设
，求证：
，
，使得
．
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【题目】过抛物线
的焦点
且斜率为1的直线与抛物线
交于
、
两点，且
.
（1）求抛物线的方程；
（2）点
是抛物线上异于、的任意一点，直线
、
与抛物线的准线分别交于点
、
，求证：
为定值.
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【题目】已知从
地到
地有两条道路可以到达，走道路①准点到达的概率为
，不准点到达的概率为
；走道路②准点到达的概率为
，不准点到达的概率为
.若甲乙两车走道路①，丙车由于其他原因走道路②，且三辆车是否准点到达相互之间没有影响.
（1）若三辆车中恰有一辆车没有准点到达的概率为
，求走道路②准点到达的概率；
（2）在（1）的条件下，求三辆车中准点到达车辆的辆数的分布列和数学期望.
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【题目】算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：
如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】将函数
的图象向左平移
个单位，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），得到
的图象，则关于的图象，下列结论不正确的是
A. 周期为
B. 关于点
对称
C. 在
单调递增 D. 在
单调递减
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【题目】在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，在高三年级中随机选取
名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于
小时的有
人，在这人中分数不足
分的有
人；在每周线上学习数学时间不足于小时的人中，在检测考试中数学平均成绩不足分的占
.
（1）请完成
列联表；并判断是否有
的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
分数不少于 | 分数不足 | 合计 | |
线上学习时间不少于 | |||
线上学习时间不足 | |||
合计 |
（2）在上述样本中从分数不足于分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于小时和线上学习时间不足小时的学生共
名，若在这名学生中随机抽取
人，求这人每周线上学习时间都不足小时的概率.（临界值表仅供参考）
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（参考公式
，其中
）
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