Question

【题目】一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列的前项和为，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于的项的和为．

（Ⅰ）求和；

(Ⅱ)判断和的大小，不用证明；

（Ⅲ）设，求证：，，使得．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)11,36 (Ⅱ)见解析；（Ⅲ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）由题意直接求得p5和f（5）；

（Ⅱ）分别取n＝1，2，3，4，5．求得Sn和f（n），比较大小得结论；

（Ⅲ）取值验证n≤4时，命题成立．当n≥5时，设k是使得k2≤Sn成立的最大自然数，只需证（k+1）2＜Sn+1．可得1+3+5+…+（2k﹣1），f（n）＝1+3+5+…+pn，结合（Ⅱ）可知，当n≥5时，Sn＜f（n），得到pn＞2k﹣1，从而pn+1＞2k+1．进一步得到．

(Ⅰ)，

；

(Ⅱ)当时，，，；

当时，，，；

当时，，，；

当时，，，．

所以当时，．

当时，，，．

不难看出，当时，．

（Ⅲ）因为，，，，，

所以当时，，使得；

当时，，使得；

当时，，使得；

当时，，使得

所以时，命题成立．

当时，设是使得成立的最大自然数，只需证．

因为 ，

，

由(Ⅱ)可知，当时，，

所以，从而

所以，即．

综上可知，命题成立．