【题目】设等比数列{}的公比为 q(q > 0,q = 1),前 n 项和为 Sn,且 2a1a3 = a4,数列{}的前 n 项和 Tn 满足2Tn = n(bn - 1),n ∈N*,b2 = 1.
(1) 求数列 {},{}的通项公式;
(2) 是否存在常数 t,使得 {Sn+ } 为等比数列?说明理由;
(3) 设 cn =,对于任意给定的正整数 k(k ≥2), 是否存在正整数 l,m(k < l < m), 使得 ck,c1,cm 成等差数列?若存在,求出 l,m(用 k 表示),若不存在,说明理由.
【答案】(1) ; (2)存在,使得是公比为的等比数列;(3)存在符合题意.
【解析】
(1)利用基本量运算可得,利用n≥2时,2bn=2(Tn﹣Tn﹣1),整理可得;
(2)由Sn,分别讨论t时和t时,由等比数列的定义证明即可;
(3)假设对于任意给定的正整数k(k≥2),存在正整数l,m(k<l<m),使得ck,c1,cm成等差数列.则,整理得:2m+1,取l=2k,即可得解.
(1)等比数列{an}的公比为q(q>0,q=1),∵2a1a3=a4,
∴,可得a1.
∴anqn﹣1.
数列{bn}的前n项和Tn满足2Tn=n(bn﹣1),n∈N*,b2=1.
∴n≥2时,2bn=2(Tn﹣Tn﹣1)=n(bn﹣1)﹣(n﹣1)(bn﹣1﹣1),
化为:(n﹣2)bn=(n﹣1)bn﹣1+1,
当n≥3时,两边同除以(n﹣2)(n﹣1),可得:,
利用累加求和可得:b2+1,化为:bn=2n﹣3(n≥3),
当n=1时,2b1=b1﹣1,解得b1=﹣1,
经过验证n=1,2时也满足.
∴bn=2n﹣3.
(2)由(1)可知:an,q>0,q≠1.
∴Sn.
①若t时,则Sn,∴q.
即数列{Sn}是公比为q的等比数列.
②若t时,则Sn.
设A,B.(其中A,B≠0).
则q不为常数.
综上:存在t时,使得数列{Sn}是公比为q的等比数列.
(3)由(1)可知:bn=2n﹣3.
,
假设对于任意给定的正整数k(k≥2),存在正整数l,m(k<l<m),使得ck,c1,cm成等差数列.
则,整理得:2m+1,
取l=2k,则2m+1=(4k+1)(2k+1),解得m=4k2+3k.
即存在l=2k,m=4k2+3k.符合题意.
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【题目】在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期,我市教育局提出“停课不停学”的口号,鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系,在高三年级中随机选取名学生进行跟踪问卷,其中每周线上学习数学时间不少于小时的有人,在这人中分数不足分的有人;在每周线上学习数学时间不足于小时的人中,在检测考试中数学平均成绩不足分的占.
(1)请完成列联表;并判断是否有的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”;
分数不少于分 | 分数不足分 | 合计 | |
线上学习时间不少于小时 | |||
线上学习时间不足小时 | |||
合计 |
(2)在上述样本中从分数不足于分的学生中,按照分层抽样的方法,抽到线上学习时间不少于小时和线上学习时间不足小时的学生共名,若在这名学生中随机抽取人,求这人每周线上学习时间都不足小时的概率.(临界值表仅供参考)
(参考公式,其中)
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【题目】已知直线: 与圆相交的弦长等于椭圆: ()的焦距长.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知为原点,椭圆与抛物线()交于、两点,点为椭圆上一动点,若直线、与轴分别交于、两点,求证: 为定值.
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【题目】为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中,参考的文科生与理科生人数之比为,且成绩分布在的范围内,规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”,按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图,如图所示.其中构成以2为公比的等比数列.
(1)求的值;
(2)填写下面列联表,能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关?
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 | 6 | ||
不获奖 | |||
合计 | 400 |
(3)将上述调查所得的频率视为概率,现从全市参考学生中,任意抽取2名学生,记“获得优秀作文”的学生人数为,求的分布列及数学期望.
附:,其中.
.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】某外卖企业两位员工今年月某天日派送外卖量的数据(单位:件),如茎叶图所示针对这天的数据,下面说法错误的是( )
A.阿朱的日派送量的众数为B.阿紫的日派送量的中位数为
C.阿朱的日派送量的中位数为D.阿朱的日派送外卖量更稳定
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【题目】如图,设双曲线的上焦点为,上顶点为,点为双曲线虚轴的左端点,已知的离心率为,且的面积.
(1)求双曲线的方程;
(2)设抛物线的顶点在坐标原点,焦点为,动直线与相切于点,与的准线相交于点,试推断以线段为直径的圆是否恒经过轴上的某个定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】定义:对于任意,仍为数列中的项,则称数列为“回归数列”.
(1)己知(),判断数列是否为“回归数列”,并说明理由;
(2)若数列为“回归数列”,,,且对于任意,均有成立.①求数列的通项公式;②求所有的正整数s,t,使得等式成立.
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