Question

【题目】已知函数.

（1）求的单调区间与极值；

（2）当函数有两个极值点时，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）减区间，增区间 ，极小值为，无极大值；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导函数，根据导函数即可求出单调区间以及极值；

（2）求出的导函数，使导函数有两个根，采用分离参数法，结合（1）中的值域即可求出参数的取值范围．

解：（1）由，

则，

令，则，

令，即，解得，

所以函数的单调递增区间为；

令，即，解得，

所以函数的单调递减区间为；

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在处取得极小值，极小值，无极大值.

综上所述，单调递增区间为；单调递减区间为；极小值为2，无极大值；

（2）由，

则，

若有两个极值点，则有两个根

即有两解，即，

即与有两个交点，

由（1）可知在上单调递减；在上单调递增，

，所以；

考虑函数，，

由洛必达法则：，

，，

所以若与有两个交点，则．