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    【题目】如图，在直三棱柱中，，分别是棱，的中点，点在棱上，且，，.

    （1）求证：平面；

    （2）当时，求三棱锥的体积.

    【答案】（1）见解析；（2）

    【解析】试题分析：（1）连接交于点，由重心性质可得，由相似可得，最后根据线面平行判定定理得结论（2）取上一点使 ，利用平行进行等体积代换，最后根据锥体体积公式求体积

    试题解析：解：（1）(法一)连接交于点，连接

    由分别是棱中点，故点为的重心

    在中，有

    ，又平面

    平面

    （法二）取的中点，连接

    由是棱的中点，为的中点，

    为的中位线，即平面

    又为棱的中点，为的中点

    由，由，且为直三棱柱

    ，进而得

    ，即平面

    又 平面平面

    又平面 平面

    (2)取上一点使

    ∵且直三棱柱

    ∴，∵为中点

    ∴,,平面

    ∴

    而,

    点到平面的距离等于

    ∴

    ∴三棱锥的体积为

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    （Ⅱ）现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取人，再从人中随机抽取人赠送超市购物券作为答谢，求恰有人是女性的概率.

    参考公式： .

    临界值表：

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