Question

【题目】如图①，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点（端点除外），将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′（如图②）．

（1）求证：A′D⊥EF；

（2）当点E，F分别为AB，BC的中点时，求直线A′E与直线BD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）利用折叠前后有些垂直关系不变及直线与平面垂直的判定和性质可证（2）取A’F的中点N，EF的中点M,异面直线A′E与直线BD所成角转化为相交直线NM与ND所成锐角或直角，利用余弦定理求其余弦值即可.

（1）证明：显然，又,

因为,

所以

（2）设,取A’F的中点N,

因为E、F为AB,BC的中点，所以M为EF的中点，

连MN则MN//A’E，连ND,

则或其补角就是异面直线A’E与BD所成角，

在中，

，

直线A’E与直线BD所成角的余弦值为.