【题目】如图,某学校拟建一块五边形区域的“读书角”,三角形区域ABE为书籍摆放区,沿着AB、AE处摆放折线形书架(书架宽度不计),四边形区域为BCDE为阅读区,若∠BAE=60°,∠BCD=∠CDE=120°,DE=3BC=3CD=m.
(1)求两区域边界BE的长度;
(2)若区域ABE为锐角三角形,求书架总长度AB+AE的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)连接BD,由余弦定理可得BD,由已知可求∠CDB=∠CBD=30°,∠CDE=120°,可得∠BDE=90°,利用勾股定理即可得解BE的值;(2)设∠ABE=α,由正弦定理,可得AB=4sin(120°﹣α),AE=4
sinα,利用三角函数恒等变换的应用化简可得AB+AE=12sin(α+30°),结合范围60°<α+30°<120°,利用正弦函数的性质可求AB+AE的最大值,从而得解.
⑴连接BD,在△BDC中,,∠BCD=120°,
由余弦定理,
得,得
又BC=CD,∠BCD=120°,
,
.
△ABE中,BD=3,,由勾股定理
.
故.
⑵设,
则,
在△ABE中,
由正弦定理.
,
,
故
=
,
△ABE为锐角三角形,
故,
,
,
所以暑假的总长度AB+AE的取值范围是,
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
(限定
).
(1)写出曲线的极坐标方程,并求
与
交点的极坐标;
(2)射线与曲线
与
分别交于点
(
异于原点),求
的取值范围.
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【题目】如图①,在边长为4的正方形ABCD中,E,F分别是边AB,BC上的点(端点除外),将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A′(如图②).
(1)求证:A′D⊥EF;
(2)当点E,F分别为AB,BC的中点时,求直线A′E与直线BD所成角的余弦值.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,
分别为左,右焦点,
分别为左,右顶点,D为上顶点,原点
到直线
的距离为
.设点
在第一象限,纵坐标为t,且
轴,连接
交椭圆于点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)(文)若三角形的面积等于四边形
的面积,求直线
的方程;
(理)求过点的圆方程(结果用t表示)
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【题目】(1)已知椭圆两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程;
(2)已知双曲线两个焦点的坐标分别是(0,-6),(0,6),并且经过点(2,-5),求它的标准方程.
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【题目】已知数列是各项均为正数且公比不等于1的等比数列
,对于函数
,若数列
为等差数列,则称函数
为“保比差数列函数”,现有定义在
上的如下函数:①
,②
,③
;④
,则为“保比差数列函数”的所有序号为( )
A.①②B.①②④C.③④D.①②③④
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