Question

【题目】已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）（文）若是椭圆上的动点，过P作垂直于x轴的垂线，垂足为M，延长MP至N，使得P恰好为MN中点，求点N的轨迹方程；

（理）若已知点，是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；

Answer 1

【答案】（1）y2＝1（2）（文）x2+y2＝4．（理）（x）2+4（y）2＝1．

【解析】

（1）由左焦点为F（），右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．

（2）（文）设N（x，y），则M（x，0），利用中点坐标公式可得P（x，），代入椭圆的标准方程即可得出．

（理）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，将P代入椭圆方程，即可求得线段PA中点M的轨迹方程

（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设1（a＞b＞0），

由椭圆的左焦点为F（，0），右顶点为D（2，0），即a＝2，c，

则b2＝a2﹣c2＝1，

∴椭圆的标准方程为：y2＝1

（2）（文）设N（x，y），则M（x，0），利用中点坐标公式可得P（x，），

代入椭圆C1的标准方程为x2+y2＝4．

所以N的轨迹方程为x2+y2＝4．

（理）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），

由中点坐标公式可知，整理得：，

由点P在椭圆上，

∴（2y）2＝1，

∴线段PA中点M的轨迹方程是：（x）2+4（y）2＝1．