Question

【题目】已知动直线l：（m＋3）x－（m＋2）y＋m＝0与圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝9．

（1）求证：无论m为何值，直线l总过定点A，并说明直线l与圆C总相交．

（2）m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）时，直线被圆C所截得的弦长最小，最小值为2．

【解析】

试题分析：（1）直线变形为．利用直线系过定点，若定点在圆的内部即可；（2）利用垂径定理和弦长公式即可得出．

试题解析：

（1）证明：直线变形为．

令解得

如图所示，故动直线恒过定点A（2,3）．

而 （半径）．

∴点A在圆内，故无论m取何值，直线与圆C总相交．

（2）解：由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC垂直直线时，弦长最小，

此时kl·kAC＝－1，即，∴

最小值为．

故时，直线被圆C所截得的弦长最小，最小值为．