Question

【题目】已知f（x）=sin（x﹣30°）+cos（x﹣60°），g（x）=2sin2 ．
（1）若α为第一象限角且f（α）= ，求g（α）之值；
（2）求f（x﹣1080°）≥g（x）在[0，360°]内的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=sin（x﹣30°）+cos（x﹣60°）= sinx﹣ cosx+ cosx+ sinx= sinx，

g（x）=2sin2 =1﹣cosx，

由f（α）= ，可得：sinα= ，

又α为第一象限角，

∴cos ，

∴g（α）=

（2）解：由（1）可得f（x）= sinx，

∴f（x﹣1080°）= sin（x﹣1080°）= sinx，

∴f（x﹣1080°）≥g（x）等价于 sinx≥1﹣cosx，即： sinx+cosx≥1，

可得：2sin（x+30°）≥1，

∴sin（x+30°）≥ ，

∴k360°+30°≤x+30°≤k360°+150°（k∈Z），

又∵x∈[0°，360°]，

∴0°≤x≤120°，

∴f（x﹣1080°）≥g（x）的解集为：[0°，120°]

【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）= sinx，g（x）=1﹣cosx，由f（α）= ，可求sinα，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而可求g（α）．（2）由（1）利用诱导公式可求f（x﹣1080°）= sinx，由f（x﹣1080°）≥g（x），可得sin（x+30°）≥ ，结合范围x∈[0°，360°]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．