【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且Sn=n﹣5an﹣85,n∈N+ .
(1)求an .
(2)求数列{Sn}的通项公式,并求出n为何值时,Sn取得最小值?并说明理由.(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48).
【答案】
(1)解:∵Sn=n﹣5an﹣85,∴当n=1时,S1=1﹣5a1﹣85,
即a1=1﹣5a1﹣85,解得a1=﹣14;
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n﹣5an﹣85)﹣[(n﹣1)﹣5an﹣1﹣85]=﹣5an+5an﹣1+1,
整理得6an=5an﹣1+1,∴6(an﹣1)=5(an﹣1﹣1),
∴ = .又a1﹣1=﹣15,
∴数列{an﹣1}是以﹣15为首项, 为公比的等比数列.
∴an=﹣15×( )n﹣1+1
(2)解:由(1)知,an=﹣15×( )n﹣1+1,
代入Sn=n﹣5an﹣85得,Sn=n﹣5[﹣15×( )n﹣1+1]﹣85
=n+75×( )n﹣1﹣90.
设Sk为最小值,则 ,即有 ,
即 ,即 ,可得 ,
即 ≤k≤ +1,又 = = = ,
lg2≈0.3,lg3≈0.48,∴ ≈14.75.
∴14.75≤k≤15.75.又∵k∈N+,∴k=15.
即当n=15时,Sn取得最小值
【解析】(1)运用数列的通项与求和的关系:当n=1时,a1=S1 , 当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1 , 通过构造数列,结合等比数列的定义和通项公式,即可得到所求;(2)将(1)的结论代入条件,可得Sn=n+75×( )n﹣1﹣90.设Sk为最小值,则 ,运用通项公式,结合对数函数的单调性,解不等式计算即可得到所求k的值.
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题.
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【题目】医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质,售价3元;乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质,售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问:应如何使用甲、乙原料,才能既满足营养,又使费用最省.
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【题目】已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0,求直线l'的方程,使得:
(1)l'与l平行,且过点(﹣1,3);
(2)l'与l垂直,且l'与两轴围成的三角形面积为4.
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【题目】已知动直线l:(m+3)x-(m+2)y+m=0与圆C:(x-3)2+(y-4)2=9.
(1)求证:无论m为何值,直线l总过定点A,并说明直线l与圆C总相交.
(2)m为何值时,直线l被圆C所截得的弦长最小?请求出该最小值.
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【题目】如图,在四棱锥中,已知底面,异面直线和所成角等于.
(1)求证: 平面平面;
(2)求直线和平面所成角的正弦值;
(3) 在棱上是否存在一点,使得平面与平面所成锐二面角的正切值为?若存在,指出点在棱上的位置,若不存在,说明理由.
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【题目】是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,对人体健康和大气环境质量的影响很大.我国标准采用世卫组织设定的最宽限值.即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;75微克/立方米以上空气质量为超标.
某市环保局从360天的市区监测数据中统计了1月至10月的每月的平均值(单位:微克/立方米),如下表所示.
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
月均值 | 32 | 28 | 25 | 31 | 34 | 33 | 45 | 44 | 63 | 68 |
(1)从5月到10月的这6个数据中任取2个数值,求这个2个数值均为二级的概率;
(2)求月均值关于月份的回归直线方程,其中.
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【题目】如图所示,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面为正三角形,且面面, 分别为棱的中点.
(1)求证: 平面;
(2)(文科)求三棱锥的体积;
(理科)求二面角的正切值.
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