Question

【题目】如图，在四棱锥中，已知底面，异面直线和所成角等于.

（1）求证: 平面平面；

（2）求直线和平面所成角的正弦值；

(3) 在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点在棱上的位置，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在这样的点， 为棱上靠近的三等分点.

【解析】试题分析：（1）要证平面平面，即证平面；

（2）以为原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求面的法向量，利用向量求线面角即可；

（3）假设存在，设，利用法向量求平面与平面所成角即可.

试题解析：

(1) 底面，又平面平面平面， 平面平面.

(2)如图，以为原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，由（1）易知是等腰直角三角形， .设，则，则，因为异面直线和所成角等于， ，即，解得.设平面的一个法向量为，则由，得，所以可取，所以直线和平面所成的正弦值为.

(3)假设存在，设，且，则，设平面一个法向量为，则由，得，取，又平面的法向量为，由平面与平面所成锐二面角的正切值为，可知余弦值为，由，解得或（不合题意）.

所以存在这样的点， 为棱上靠近的三等分点.