Question

已知函数f（x）=（mx+1）（lnx-1）．
（1）若m=1，求曲线y=f（x）在x=1的切线方程；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）若m=1，求出函数的导数即可求曲线y=f（x）在x=1的切线方程；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，转化为f′（x）≥0恒成立即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）若m=1，则f（x）=（x+1）（lnx-1），
则f（1）=-2，即切点坐标为（1，-2），
函数的f（x）的导数f′（x）=lnx+

1

x

，
则f′（1）=1，
则曲线y=f（x）在x=1的切线方程为y+2=x-1，即y=x-3；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
则f′（x）≥0恒成立，
即f′（x）=m（lnx-1）+m+

1

x

≥0恒成立，
则mlnx≥-

1

x

，
若x=1，则不等式成立，
若lnx＞0，即x＞1时，不等式等价为m≥

-1

xlnx

成立，
设g（x）=

-1

xlnx

，则g′（x）=

1+lnx

(xlnx)2

＞0，则函数g（x）单调递增，且g（x）＜0，此时m≥0，
若lnx＜0，即0＜x＜1时，不等式等价为m≤

-1

xlnx

成立，
设g（x）=

-1

xlnx

，则g′（x）=

1+lnx

(xlnx)2

，
由g′（x）＞0解得1+lnx＞0，即lnx＞-1，

1

e

＜x＜1，此时函数g（x）单调递增，
由g′（x）＜0解得1+lnx＜0，即lnx＜-1，0＜x＜

1

e

，此时函数g（x）单调递减，
故当x=

1

e

时，函数g（x）取得极小值为g（

1

e

）=

-1

1 e ln 1 e

=e，则此时m≤e，
综上0≤m≤e，
即实数m的取值范围是[0，e]

点评：本题主要考查函数的切线的求解以及函数单调性和导数之间的关系，综合考查导数的应用．