Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n为数列{na_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=3S_n+1得，n≥2时a_n=3S_n-1+1，两式相减得递推公式，再验证n=1时是否满足，判断出数列{a_n}是等比数列，代入通项公式即可；
（Ⅱ）由（I）和题意表示出T_n，再由错位相减法求出数列的前n项和．

解答：解：（Ⅰ）由题意，a_n+1=3S_n+1，
则当n≥2时，a_n=3S_n-1+1．
两式相减，得a_n+1=4a_n（n≥2）．
又∵a₁=1，a₂=4，∴

a 2

a1

=4，
∴数列{a_n}是以首项为1，公比为4的等比数列，
∴an=4n-1（n∈N^*），
（Ⅱ）由（I）得，
Tn=a1+2a2+3a3+…+nan=1+2×4+3×42+…+n•4n-1，
∴4Tn=4×1+2×42+3×43+…+(n-1)•4n-1+n•4n，
两式相减得，-3Tn=1+4+42+…+4n-1-n•4n=

1-4n

1-4

-n•4n，
整理得，Tn=

3n-1

9

•4n+

1

9

（n∈N^*）．

点评：本题考查了数列的S_n与a_n之间的转化问题，以及错位相减法求出数列的前n项和，属于中档题．