Question

9．已知平面向量$\overrightarrow α$，$\overrightarrow β$（${\overrightarrow α$≠$\overrightarrow β}$）满足$\overrightarrow{|α|}$=2，且$\overrightarrow α$与$\overrightarrow β$-$\overrightarrow α$的夹角为120^°，t∈R，则|（1-t）$\overrightarrow α$+t$\overrightarrow β}$|的最小值是$\sqrt{3}$．已知$\overline{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，向量$\overrightarrow{c}$满足（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）=0，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=5，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|=3，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$的最大值为18．

Answer 1

分析 ①根据$\overrightarrow{α}$与$\overrightarrow{β}$的夹角为120°，结合向量加法的三角形法则，及连接直线上的点与直线外一点的线段中，垂线段最短得到当t|$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$|=$\frac{1}{2}$时，|（1-t）$\overrightarrow α$+t$\overrightarrow β}$|取最小值；
②由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0得出$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，建立直角坐标系，设$\overrightarrow{a}$=（m，0），$\overrightarrow{b}$=（0，n），$\overrightarrow{c}$=（x，y），根据|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=5得m²+n²=25，记此圆为⊙M；
根据向量$\overrightarrow{c}$满足（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）=0，说明点C在⊙M上；
由|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$|=4，过点C分别作CD⊥y轴，
设∠CBD=θ，可得x=4sinθ=m-3cosθ，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=mx=10sin（2θ-φ）+8，从而求得结论．

解答 解：①∵平面向量$\overrightarrow{α}$满足|$\overrightarrow{α}$|=2，且$\overrightarrow{α}$与$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$的夹角为120°，
故当t（$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$）满足t|$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$|=$\frac{1}{2}$时，|（1-t）$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{β}$|（t∈R）取最小值，
此时由向量加法的三角形法则可得|（1-t）$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$|（t∈R）的最小值是$\sqrt{3}$；
②由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=0，建立如图所示的直角坐标系；
可设$\overrightarrow{a}$=（m，0），$\overrightarrow{b}$=（0，n），$\overrightarrow{c}$=（x，y），
∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=5，
∴m²+n²=25，记此圆为⊙M；
∵向量$\overrightarrow{c}$满足（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
∴x²+y²-mx-ny=0，
化为${（x-\frac{m}{2}）}^{2}$+${（y-\frac{n}{2}）}^{2}$=$\frac{25}{4}$，
说明点C在⊙M上；
∴|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|=3，
∴|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$|=4，
过点C分别作CD⊥y轴，CE⊥x轴，垂足分别为D，E；
设∠CBD=θ，则∠OAC=θ，
则x=4sinθ=m-3cosθ，
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=mx=4sinθ（4sinθ+3cosθ）
=16sin²θ+12sinθcosθ
=8（1-cos2θ）+6sin2θ
=10sin（2θ-φ）+8≤18；
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$的最大值为18．
故答案为：$\sqrt{3}$，18．

点评 本题考查了向量的模以及向量在几何中的应用问题，也考查了向量的坐标运算、向量垂直与数量积的应用问题，是综合性题目．