Question

19．已知函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$（x≠0）．
（1）判断并证明函数在其定义域上的奇偶性；
（2）判断并证明函数在（2，+∞）上的单调性；
（3）解不等式f（2x²+5x+8）+f（x-3-x²）＜0．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义，可判断函数为奇函数．
（2）函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$在（2，+∞）上为增函数，
证法一：利用定义法，可证明结论；
证法二：利用导数法，可证明结论；
（3）由2x²+5x+8＞2，x²-x+3＞2，故原不等式可化为：2x²-5x+8＜x²-x+3，解得答案．

解答 解：（1）函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$的定义域为：{x|x≠0}，关于原点对称，
且f（-x）=-x-$\frac{4}{x}$=-（x+$\frac{4}{x}$）=-f（x）恒成立，
所以函数为奇函数．
（2）函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$在（2，+∞）上为增函数，理由如下：
证法一：任取x₁，x₂∈（2，+∞）
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•（$\frac{{x}_{1}•{x}_{2}-4}{{x}_{1}•{x}_{2}}$）
∵x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，
又∵x₁，x₂∈（2，+∞），
∴x₁•x₂＞4，x₁•x₂-4＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以函数在（2，+∞）上为增函数，
证法二：∵f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$＞0在（2，+∞）上恒成立，
故函数在（2，+∞）上为增函数
（3）因为2x²+5x+8＞2，x²-x+3＞2，
∴原不等式可化为：2x²-5x+8＜x²-x+3，
∴-5＜x＜-1
所以不等式的解集为：（-5，-1）．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，导数法研究的单调性，单调性的应用，难度中档．