Question

14．设函数g（x）=3^x，h（x）=9^x．
（1）解方程：h（x）-8g（x）-h（1）=0；
（2）令p（x）=$\frac{g（x）}{{g（x）+\sqrt{3}}}$，求值：p（$\frac{1}{2016}$）+p（$\frac{2}{2016}$）+…+p（$\frac{2014}{2016}$）+p（$\frac{2015}{2016}$）．

Answer 1

分析 （1）推导出（3^x）²-8×3^x-9=0，由此能求出h（x）-8g（x）-h（1）=0的解．
（2）求出p（x）+p（1-x）=1，由此能求出p（$\frac{1}{2016}$）+p（$\frac{2}{2016}$）+…+p（$\frac{2014}{2016}$）+p（$\frac{2015}{2016}$）的值．

解答 解：（1）∵g（x）=3^x，h（x）=9^x．
h（x）-8g（x）-h（1）=0，
∴9^x-8×3^x-9=0，
∴（3^x）²-8×3^x-9=0，
解得3^x=9，∴x=2．（5分）
（2）∵p（x）=$\frac{g（x）}{{g（x）+\sqrt{3}}}$=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+\sqrt{3}}$，
∴p（x）+p（1-x）=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+\sqrt{3}}$+$\frac{{3}^{1-x}}{{3}^{1-x}+\sqrt{3}}$
=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+\sqrt{3}}$+$\frac{\sqrt{3}}{{3}^{x}+\sqrt{3}}$=1，
∴p（$\frac{1}{2016}$）+p（$\frac{2}{2016}$）+…+p（$\frac{2014}{2016}$）+p（$\frac{2015}{2016}$）
=1006×1+p（$\frac{1}{2}$）
=1006+$\frac{1}{2}$
=$\frac{2013}{2}$．（10分）

点评 本题考查方程的求法，考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，推导出p（x）+p（1-x）=1是解题的关键．