Question

4．已知p：函数g（x）=2x²-2（2m+1）x-6m（m-1）（x∈R）的图象在（-1，5）上与x轴有唯一的公共点；q：函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1（m＜0，-1≤x≤1）图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，如果p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的m的范围，结合复合命题的判断，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：由已知有g（x）=2x²-2（2m+1）x-6m（m-1），x∈R．
函数g（x）的图象与x轴的公共点的横坐标就是二次方程
x²-（2m+1）x-3m（m-1）=0的实数根，解得x₁=3m，x₂=1-m．
①当x₁=x₂时，有3m=1-m⇒m=$\frac{1}{4}$，此时x₁=x₂=$\frac{3}{4}$∈（-1，5）为所求，
②当x₁≠x₂时，令H（x）=x²-（2m+1）x-3m（m-1），
则函数g（x）的图象在（-1，5）上与x轴有唯一的公共点
⇒H（-1）•H（5）≤0，而H（-1）=-3m²+5m+2，H（5）=-3m²-7m+20，
所以（-3m²+5m+2）（-3m²-7m+20）≤0，
即（m-2）（3m+1）（m+4）（3m-5）≤0，
解得-4≤m≤-$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$≤m≤2，
经检验端点，当m=-4和m=2时，不符合条件，舍去．
综上所述，实数m的取值范围是m=$\frac{1}{4}$或-4＜m≤-$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$≤m＜2，
故p为真时：m=$\frac{1}{4}$或-4＜m≤-$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$≤m＜2，
q：函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1（m＜0，-1≤x≤1）图象上任意一点的切线斜率恒大于3m
f'（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6＞3m在区间[-1，1]恒成立，
即3mx²-6（m+1）x+6＞0在区间[-1，1]恒成立，
设F（x）=3mx²-6（m+1）x+6＞0，则有
$\left\{\begin{array}{l}{F（-1）=9m+12＞0}\\{F（1）=-3m＞0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{4}{3}$＜m＜0，
故q为真时：-$\frac{4}{3}$＜m＜0，
如果p或q为真，p且q为假，
则p，q一真一假，
则$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{4}或-4＜m≤-\frac{1}{3}或\frac{5}{3}≤m＜2}\\{m≥0或m≤-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}＜m＜\frac{5}{3}且m≠\frac{1}{4}或m≥2或m≤-4}\\{-\frac{4}{3}＜m＜0}\end{array}\right.$，
解得：-4＜m≤-$\frac{4}{3}$或m=$\frac{1}{4}$或$\frac{5}{3}$≤m＜2或-$\frac{1}{3}$＜m＜0．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数以及函数恒成立问题，是一道中档题．