Question

13．已知a、b为正实数，且a+2b=3ab，若a+b-c≥0对于满足条件的a，b恒成立，则c的取值范围为（　　）

• A． （-∞，$1+\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$]
• B． $（-∞，\frac{3}{2}+\sqrt{2}]$
• C． （-∞，6]
• D． （-∞，$3+2\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 利用基本不等式可求出a+b的最小值（a+b）_min，要使a+b-c≥0对于满足条件的a，b恒成立，只要值（a+b）_min-c≥0即可．

解答 解：a，b都是正实数，且a+2b=3ab，则$\frac{1}{b}$+$\frac{2}{a}$=3，满足①，
则a+b=（a+b）•$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{b}$+$\frac{2}{a}$）=$\frac{1}{3}$（3+$\frac{a}{b}$+$\frac{2b}{a}$）≥$\frac{1}{3}$（3+2×$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{2b}{a}}$）=1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
当且仅当$\frac{a}{b}$=$\frac{2b}{a}$时，即a=$\sqrt{2}$b②时，等号成立．
联立①②解得a=$\frac{2+\sqrt{2}}{3}$，b=$\frac{\sqrt{2}+1}{3}$，故a+b的最小值为1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
要使a+b-c≥0恒成立，只要1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$-c≥0，即c≤1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故c的取值范围为（-∞，1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]．
故选A．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件：一正、二定、三相等，以及函数的恒成立问题．