Question

8．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且A=30°，a=1．现在给出下列四个条件：①B=45°；②b=2sinB；③c=$\sqrt{3}$；④2c-$\sqrt{3}$b=0； 若从中选择一个条件就可以确定唯一△ABC，则可以选择的条件是（　　）

• A． ①或②
• B． ②或③
• C． ③或④
• D． ④或①

Answer 1

分析 对于①，由正弦定理可得b，利用三角形内角和定理可求C，满足条件的三角形有1个；
对于②，由正弦函数的图象和性质可知当$\frac{1}{2}＜sinB＜1$时，B有两解，满足条件的三角形有2个；
对于③，由正弦定理可得sinC，结合范围可求C的值有两解，故不正确；
对于④，利用余弦定理即可整理解得唯一确定的c，b，满足条件的三角形有1个．

解答 解：∵A=$\frac{π}{6}$，a=1．
对于：①B=$\frac{π}{4}$，由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\sqrt{2}$，C=π-A-B=$\frac{7π}{12}$，满足条件的三角形有1个，故正确；
对于：②b=2sinB，B∈（0，$\frac{5π}{6}$），由正弦函数的图象和性质可知当$\frac{1}{2}＜sinB＜1$时，即，1＜b＜2时，B有两解，满足条件的三角形有2个，故不正确；
对于：③c=$\sqrt{3}$，由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由C∈（0，$\frac{5π}{6}$），可得：C=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，满足条件的三角形有2个，故不正确；
对于：④2c-$\sqrt{3}$b=0，可得：b=$\frac{2c}{\sqrt{3}}$，由余弦定理可得：1=（$\frac{2c}{\sqrt{3}}$）²+c²-$\sqrt{3}$×$\frac{2c}{\sqrt{3}}$×c，整理解得：c=$\sqrt{3}$，b=2，满足条件的三角形有1个，故正确；
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．