Question

3．下列不等式中，①α∈（0，$\frac{π}{2}$）时，sin²α+$\frac{4}{{{{sin}^2}α}}$≥4；②log₂（x²+1）≥1+log₂x（x＞0）；③sinx+cosx≤$\sqrt{2}$；④2^2x+2^2y≥2^x+y+1恒成立的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 对于①，根据基本不等式等号成立的条件即可判断，
对于②，根据基本不等式和对数的运算性质故可判断，
对于③，sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），根据三角函数的性质即可判断，
对于④，根据基本不等式和指数函数的运算性质即可判断．

解答 解：对于①，sin²α+$\frac{4}{{{{sin}^2}α}}$≥4，当且仅当sin⁴α=4时取等号，显然不成立，故①不恒成立，
对于②，∵x²+1≥2x，x＞0，∴log₂（x²+1）≥log₂（2x）=1+log₂x，当且仅当x=1时取等号，故恒成立，
对于③，sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），又sin（x+$\frac{π}{4}$）≤1，故sinx+cosx≤$\sqrt{2}$恒成立，
对于④，2^2x+2^2y≥2×2^x+y=2^x+y+1，故恒成立，
故选：D．

点评 本题考查了函数恒成立的问题，掌握基本不等式，三角函数，对数函数，指数函数的性质，属于中档题．