Question

8．有下列命题
①命题“?x∈R，使得x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，都有x²+1＜3x”；
②命题“若x≠1，则x²-3x+2≠0”的逆否命题是“若x²-3x+2=0，则x=1”
③若函数f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a=-1；
④若x＞0，y＞0且2x+y=1，则$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值是6
⑤设函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，则f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$
其中所有正确说法的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 写出特称命题的否定判断①；写出原命题的逆否命题判断②；由函数为偶函数求得a值判断③；利用基本不等式求得最值判断④；由函数的性质结合已知求得f（$\frac{3}{2}$）的值判断⑤．

解答 解：①命题“?x∈R，使得x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，都有x²+1≤3x”，故①错误；
②命题“若x≠1，则x²-3x+2≠0”的逆否命题是“若x²-3x+2=0，则x=1”，故②正确；
③若函数f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则f（-x）-f（x）=（-x+1）（-x+a）-（x+1）（x+a）=-（a+1）x=0恒成立，
∴a=-1，故③正确；
④若x＞0，y＞0且2x+y=1，则$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）（2x+y）=3+\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}$$≥3+2\sqrt{2}$，当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=1}\\{y=\sqrt{2}x}\end{array}\right.$，即x=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=$\sqrt{2}-1$时取“=”，故④错误；
⑤函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，则f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}-2$）=-f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{2}$，故⑤错误．
∴正确说法的个数是2个．
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的否定，考查函数的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．