Question

18．如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，N为BC边上一点，且CN=$\frac{1}{4}$BC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF⊥平面EF-CB，M为EF中点．
（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；
（2）求二面角E-A′F-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如图所示，取BC的中点G，连接MG，则MG⊥EF，利用面面与线面垂直的性质与判定定理可得：MG⊥A′M，又A′M⊥EF，因此可以建立空间直角坐标系．不妨设BC=4．只要证明平面法向量的夹角为直角即可证明平面A′MN⊥平面A′BF．
（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，取BC的中点G，连接MG，则MG⊥EF，
∵平面A′EF⊥平面EFCB，平面A′EF∩平面EFCB=EF，
∴MG⊥平面A′EF，∴MG⊥A′M，又A′M⊥EF，
因此可以建立空间直角坐标系．不妨设BC=4．
M（0，0，0），A′（0，0，$\sqrt{3}$），N（-1，$\sqrt{3}$，0），
B（2，$\sqrt{3}$，0），F（-1，0，0）．
$\overrightarrow{M{A}^{′}}$=（0，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{MN}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{F{A}^{′}}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{FB}$=（3，$\sqrt{3}$，0）．
设平面A′MN的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{M{A}^{′}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MN}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}z=0}\\{-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=$（\sqrt{3}，1，0）$．
同理可得平面A′BF的法向量$\overrightarrow{n}$=$（\sqrt{3}，-3，-1）$．
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=3-3+0=0，∴$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，
∴平面A′MN⊥平面A′BF．
（2）解：由（1）可得平面A′BF的法向量$\overrightarrow{n}$=$（\sqrt{3}，-3，-1）$．
取平面EA′F的法向量$\overrightarrow{u}$=（0，1，0）．
则cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{u}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{u}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{u}|}$=$\frac{-3}{\sqrt{3+{3}^{2}+1}×1}$=$-\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
由图可知：二面角E-A′F-B的平面角为锐角，
∴二面角E-A′F-B的平面角的余弦值为$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查了利用平面法向量的夹角求出二面角的方法、向量夹角公式、数量积运算性质、空间位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．