Question

4．已知平面内动点P与两定点A（-m，0），B（m，0）（m＞0）连线的斜率之积等于非零常数t，动点P的轨迹加上定点A、B形成曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程，并讨论曲线C的形状与常数t的关系；
（2）当t=$\frac{1}{2}$，m=2$\sqrt{2}$时，过点（-4，0）的直线与曲线C相交于E、F两点，且线段EF的中点落在区域|x|+|y|=1内，求直线EF的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），由题意利用斜率计算公式可得：k_PA•k_PB=t，化为：tx²-y²=tm²，对t与0的大小关系分类讨论即可得出．
（2）当t=$\frac{1}{2}$，m=2$\sqrt{2}$时，曲线C的方程化为：$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．设过点（-4，0）的直线l的方程为：y=k（x+4），E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），线段EF的中点M（x₀，y₀）．把直线l的方程代入双曲线化为：（1-2k²）x²-16k²x-32k²-8=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得线段EF的中点M（x₀，y₀）．由于中点落在区域|x|+|y|≤1内，可得|x₀|+|y₀|≤1，通过分类讨论解出即可得出．

解答 解：（1）设P（x，y），由题意可得：k_PA•k_PB=$\frac{y}{x+m}$$•\frac{y}{x-m}$=t，
化为：tx²-y²=tm²．
当t＞0时，化为：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{t{m}^{2}}$=1，表示焦点在x轴上的双曲线；
当t＜0时，化为：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{-t{m}^{2}}$=1，表示焦点在x轴或y轴上的椭圆．
（2）当t=$\frac{1}{2}$，m=2$\sqrt{2}$时，曲线C的方程化为：$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
设过点（-4，0）的直线l的方程为：y=k（x+4），E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
线段EF的中点M（x₀，y₀）．
把直线l的方程代入双曲线化为：（1-2k²）x²-16k²x-32k²-8=0，△＞0，
即：256k⁴+4（1-2k²）（32k²+8）＞0，化为2k²+1＞0．
∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}}{1-2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{-32{k}^{2}-8}{1-2{k}^{2}}$，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{8{k}^{2}}{1-2{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+4）=$\frac{4k}{1-2{k}^{2}}$．
∵线段EF的中点落在区域|x|+|y|≤1内，
∴$\frac{8{k}^{2}}{|1-2{k}^{2}|}$+$\frac{4|k|}{|1-2{k}^{2}|}$≤1，
①|k|$≥\frac{\sqrt{2}}{2}$时，化为：6k²+4k+1≤0，无解；
②$0＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$时，化为：10k²+4k-1≤0，解得0＜k≤$\frac{-2+\sqrt{14}}{10}$；
③-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜0时，化为：10k²-4k-1≤0，解得$\frac{2-\sqrt{14}}{10}$≤k＜0．
④k=0时也成立．
综上可得：直线EF的斜率的取值范围是$[\frac{2-\sqrt{14}}{10}，\frac{-2+\sqrt{14}}{10}]$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、不等式的解法、斜率计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．