Question

16．函数f₁（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一段图象如图所示．
（1）求函数f₁（x）的解析式；
（2）将函数y=f₁（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，得函数y=f₂（x）的图象，求y=f₂（x）的最大值，并求此时自变量x的集合．
（3）求y=f₂（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数y=f₂（x）的解析式，由此求得y=f₂（x）的最大值，并求此时自变量x的集合．
（3）利用正弦函数的定义域和值域，求得y=f₂（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域．

解答 解：（1）f₁（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一段图象，可得A=2，
$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{3}$-（-$\frac{π}{6}$），
∴ω=2，再根据五点法作图可得2•（-$\frac{π}{6}$）+φ=0，∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴函数f₁（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）将函数y=f₁（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，
得函数y=f₂（x）=2sin（2x-2•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象，
∴y=f₂（x）的最大值为2，此时，2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
此时，自变量x的集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z}．
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
故当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，y=f₂（x）取得最大值为2，
当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$时，y=f₂（x）取得最小值为-1，
故函数y=f₂（x） 在x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域为[-1，2]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．