Question

1．设函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（-π＜ϕ＜0），若函数y=f（x）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为$\frac{π}{2}$，且图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{8}$．
（1）求ω，ϕ的值；
（2）求函数y=f（x）的单调增区间；
（3）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的图象的周期性求得ω的值，利用正弦函数的图象的对称性求得φ，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性，求得函数y=f（x）的单调增区间．
（3）利用五点法作图，作出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

解答 解：（1）函数y=f（x）的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为$\frac{π}{2}$，∴$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2．
又函数图象的一条对称轴是直线$x=\frac{π}{8}$，∴2×$\frac{π}{4}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵-π＜ϕ＜0，∴φ=-$\frac{3π}{4}$，f（x）=2sin（2x-$\frac{3π}{4}$）．
（2）由（1）可知$f（x）=2sin（2x-\frac{3π}{4}）$，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$ 求得：kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，
可得函数y=f（x）的单调增区间是[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z．
（3）∵x∈[0，π]，则2x-$\frac{3π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，列表：

X	0	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$	π
$2x-\frac{3π}{4}$	$-\frac{3π}{4}$	$-\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{5π}{4}$
y	$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$	-2	0	2	0	$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

所以函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象为：
．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，五点法作图，属于中档题．