Question

16．已知数列{a_n}满足a₁=0，a_n+1=$\frac{{{a_n}-2}}{{\frac{{5{a_n}}}{4}-2}}$，则a₂₀₁₄等于（　　）

• A． 0
• B． 2
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 由已知求得数列前几项，可知数列是以4为周期的周期数列，由此求得答案．

解答 解：由a₁=0，a_n+1=$\frac{{{a_n}-2}}{{\frac{{5{a_n}}}{4}-2}}$，得
${a}_{2}=\frac{{a}_{1}-2}{\frac{5}{4}{a}_{1}-2}=\frac{-2}{-2}=1$，${a}_{3}=\frac{{a}_{2}-2}{\frac{5}{4}{a}_{2}-2}=\frac{1-2}{\frac{5}{4}-2}=\frac{4}{3}$，
${a}_{4}=\frac{{a}_{3}-2}{\frac{5}{4}{a}_{3}-2}=\frac{\frac{4}{3}-2}{\frac{5}{4}×\frac{4}{3}-2}=2$，${a}_{5}=\frac{{a}_{4}-2}{\frac{5}{4}{a}_{4}-2}=\frac{2-2}{\frac{5}{4}×2-2}=0$，
…由上可知，数列{a_n}是以4为周期的周期数列，则a₂₀₁₄=a_503×4+2=a₂=1．
故选：D．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的周期性，是中档题．