Question

7．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为$\sqrt{3}$，则三棱锥的体积与其外接球体积之比是$\frac{\sqrt{3}}{9π}$．

Answer 1

分析 三棱锥为正三棱锥，利用勾股定理计算外接球的半径，代入体积公式求出三棱锥和外接球的体积即可得出体积比．

解答 解：设三棱锥S-ABC，则SA，SB，SC两两垂直，SA=SB=SC=$\sqrt{3}$，
∴SA⊥平面SBC，
∴V_S-ABC=V_A-SBC=$\frac{1}{3}{S}_{△SBC}•SA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵SA=SB=SC=$\sqrt{3}$，且SA，SB，SC两两垂直，
∴AB=BC=AC=$\sqrt{6}$，即△ABC为等边三角形．
设△ABC的中心为O，连接OS，则OS⊥平面ABC，
设三棱锥外接球的球心为M，则M在直线OS上，
∵OC=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{6}$=$\sqrt{2}$，∴OS=$\sqrt{S{C}^{2}-O{C}^{2}}$=1，
设外接圆半径为r，则MS=MC=r，OM=r-1，
∵OM²+OC²=MC²，
∴（r-1）²+2=r²，解得r=$\frac{3}{2}$．
∴V_外接球=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{9π}{2}$．
∴$\frac{{V}_{S-ABC}}{{V}_{外接球}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9π}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{9π}$．

点评 本题考查了棱锥与外接球的关系，棱锥的体积计算，属于中档题．