Question

19．对于数列{x_n}，若对任意n∈N^*，都有$\frac{{x}_{n}+{x}_{n+2}}{2}$＜x_n+1成立，则称数列{x_n}为“减差数列”．设b_n=2t-$\frac{tn-1}{{2}^{n-1}}$，若数列b₃，b₄，b₅，…是“减差数列”，则实数t的取值范围是（　　）

• A． （-1，+∞）
• B． （-∞，-1]
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 数列b₃，b₄，b₅，…是“减差数列”，可得n≥3时，b_n+b_n+2＜2b_n+1，代入化简即可得出．

解答 解：∵数列b₃，b₄，b₅，…是“减差数列”，∴n≥3时，b_n+b_n+2＜2b_n+1，
∴2t-$\frac{tn-1}{{2}^{n-1}}$+2t-$\frac{t（n+2）-1}{{2}^{n+1}}$＜2$（2t-\frac{t（n+1）-1}{{2}^{n}}）$，
化为：4（tn-1）+t（n+2）-1＞4t（n+1）-4，
∴t$＞\frac{1}{n-2}$，∵n≥3，∴$\frac{1}{n-2}$≤1，
∴t＞1．
∴实数t的取值范围是（1，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查了新定义“减差数列”、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．