Question

4．在△ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC周长的最大值及相应的b，c值．

Answer 1

分析 （I）由于sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，代入sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB．化简即可得出．
（II）由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$，可得△ABC周长=2+b+c=2+$\frac{4}{\sqrt{3}}$（sinC+sinB），利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（I）在△ABC中，∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB．
∴$\frac{1}{2}$sinC=cosAsinC，又sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（II）由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinB，c=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinC，
∴△ABC周长=2+b+c=2+$\frac{4}{\sqrt{3}}$（sinC+sinB）
=2+$\frac{4}{\sqrt{3}}$[sinC+sin$（\frac{2}{3}π-C）$]
=2+$\frac{4}{\sqrt{3}}$（sinC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{1}{2}$sinC）
=2+4$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinC+\frac{1}{2}cosC）$
=2+4sin$（C+\frac{π}{6}）$，
∵C∈$（0，\frac{2π}{3}）$，∴C+$\frac{π}{6}$∈$（0，\frac{5π}{6}）$，
∴sin$（C+\frac{π}{6}）$∈（0，1]，
∴C=$\frac{π}{3}$=B，即b=c=2时，△ABC周长取得最大值6．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、三角形内角和定理、三角函数的单调性与值域、诱导公式等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．