Question

5．已知等比数列{a_n}，a₁=1，a₆=32，S_n是等差数列{b_n}的前n项和，b₁=3，S₅=35．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）列方程求出{a_n}的公比和{b_n}的公差，即可得出其通项公式；
（2）分别求出{a_n}和{b_n}的前n项和，将两数列的前n项和相加即为T_n．

解答 解：（1）设{a_n}的公比为q，则${a_6}={a_1}{q^5}$，
即q⁵=32，∴q=2，${a_n}={2^{n-1}}$．
设{b_n}的公差为d，则${S_5}=5{b_1}+\frac{5×4}{2}d=35$，即15+10d=35，解得d=2，
∴b_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（2）设{a_n}的前n项和为A_n，
则A_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
S_n=nb₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$=3n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+2n，
∵c_n=a_n+b_n，
∴T_n=A_n+S_n=2ⁿ+n²+2n-1．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的性质，求和公式，属于中档题．