Question

12．如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E、F分别在边AB、DC上，M为AD的中点，且$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$=0，则△MEF的面积的取值范围为（　　）

• A． $[{1，\frac{5}{4}}]$
• B． [1，2]
• C． $[{\frac{1}{2}，\frac{5}{4}}]$
• D． $[{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]$

Answer 1

分析 由题意利用两个向量垂直的条件可得ME⊥MF，设∠FMD=θ，求得$\frac{1}{2}$≤tanθ≤2，利用直角三角形中的边角关系求得△MEF的面积S=$\frac{1}{2}$•ME•MF=$\frac{1}{sin2θ}$=$\frac{1}{2}•tanθ$+$\frac{1}{2tanθ}$，令x=tanθ，再利用函数y=ax+$\frac{1}{x}$的性质，求得S（x）的范围．

解答 解：在正方形ABCD中，∵AB=2，点E、F分别在边AB、DC上，M为AD的中点，且$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$=0，∴ME⊥MF．
设∠FMD=θ，则∠EMA=90°-θ，
∵tanθ∈（0，2]，且cot（90°-θ）=$\frac{1}{tanθ}$∈（0，2]，∴$\frac{1}{2}$≤tanθ≤2．
∵MD=MA=1，∴△MEF的面积S=$\frac{1}{2}$•ME•MF=$\frac{1}{2}$•$\frac{MA}{cos（90°-θ）}$•$\frac{MD}{cosθ}$=$\frac{1}{sin2θ}$=$\frac{{tan}^{2}θ+1}{2tanθ}$=$\frac{1}{2}•tanθ$+$\frac{1}{2tanθ}$，
令x=tanθ，△MEF的面积S（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
显然S（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数，S（1）=1，
由于当x=$\frac{1}{2}$ 时，S（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$=$\frac{5}{4}$；当 x=2时，S（x）=$\frac{5}{4}$，
故S（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$在区间∈[$\frac{1}{2}$，2]上的最小值为1，最大值为$\frac{5}{4}$，即1≤S≤$\frac{5}{4}$，
故选：A．

点评 本题主要考查两个向量垂直的条件，直角三角形中的边角关系，三角恒等变换，函数y=ax+$\frac{1}{x}$的性质，属于中档题．