Question

18．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足xf′（x）＞2f（x），若a＞b＞0，则（　　）

• A． b²f（a）＜a²f（b）
• B． b²f（a）＞a²f（b）
• C． a²f（a）＜b²f（b）
• D． a²f（a）＞b²f（b）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），
g′（x）=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）恒成立，
∴g′（x）＞0，
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
∴g（a）＞g（b），即$\frac{f（a）}{{a}^{2}}$＞$\frac{f（b）}{{b}^{2}}$，
∴b²f（a）＞a²f（b），
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．