Question

9．已知两个函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x}^{2}，x≤0}\end{array}\right.$．
（1）当x≤0时，求f（g（x））的解析式；
（2）当x＜0时，求g（f（x））的解析式；
（3）解不等式g（x）＞2．

Answer 1

分析 （1）当x≤0时，判断g（x）的符号，再代入f（x）相应段上的解析式即可；
（2）当x＜0时，判断f（x）的符号，再代入g（x）相应段上的解析式即可；
（3）对x进行讨论，列方程组解出．

解答 解：（1）当x≤0时，g（x）=x²≥0，
∴f（g（x））=f（x²）=（x²）²=x⁴．
（2）当x＜0时，f（x）=-x²＜0，
∴g（f（x））=g（-x²）=（-x²）²=x⁴．
（3）∵g（x）＞2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{\frac{1}{x}＞2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{{x}^{2}＞2}\end{array}\right.$解得0$＜x＜\frac{1}{2}$或x＜-$\sqrt{2}$．
即g（x）＞2的解集为{x|x＜-$\sqrt{2}$或0$＜x＜\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查了复合函数的计算，分段函数的应用，属于中档题．