Question

17．函数f（x）=x³-bx²+x在（0，$\frac{2}{3}$）内有极值，则b的范围是（$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 由已知得f′（x）=0有实数根在（0，$\frac{2}{3}$），由此能求出实数b的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=x³-bx²+x，
∴f′（x）=3x²-2bx+1，
∵函数f（x）=x³-bx²+x在（0，$\frac{2}{3}$）内有极值，
∴f′（x）=3x²-2bx+1=0有两个不相等的实数根，并且至少有一个根在（0，$\frac{2}{3}$）．
∴△=4b²-12＞0，可得：b$＞\sqrt{3}$或b$＜-\sqrt{3}$，3x²-2bx+1=0有两个不相等的实数根，
x₁x₂=$\frac{1}{3}$，可知两个根同号，
至少有一个根在（0，$\frac{2}{3}$）．说明两个根都是正根，b$＞\sqrt{3}$．
一个根在（0，$\frac{2}{3}$）内时，
可得f′（0）•f′（$\frac{2}{3}$）＜0，
即：$3×\frac{4}{9}-2b×\frac{2}{3}+1＜0$．解得：b$＞\frac{7}{4}$．
两个根在（0，$\frac{2}{3}$）内时，
$\left\{\begin{array}{l}{0＜\frac{b}{3}＜\frac{2}{3}}\\{3×\frac{4}{9}-2b×\frac{2}{3}+1≥0}\\{b＞\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得b∈（$\sqrt{3}，\frac{7}{4}$]
综上实数b的取值范围是（$\sqrt{3}$，+∞）．
故答案为：（$\sqrt{3}$，+∞）．

点评 本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．