Question

6．计算下列极限：
（1）$\underset{lim}{n→∞}$（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）；
（2）$\underset{lim}{n→∞}$$\sqrt{n}$（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）；
（3）$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}$．

Answer 1

分析 （1）分子有理化，求得$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$）=0；
（2）分子有理化，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\sqrt{n}[（n+1）-n]}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，同除以$\sqrt{n}$，得$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$=$\frac{1}{2}$；
（3）由原式可知$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，同除以$\sqrt{n+2}$，得$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+\sqrt{\frac{n+1}{n+2}}}{\sqrt{\frac{n+1}{n+2}}+\sqrt{\frac{n}{n+2}}}$=1，

解答 解：（1）$\underset{lim}{n→∞}$（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$），
=$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$），
=0；
（2）$\underset{lim}{n→∞}$$\sqrt{n}$（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\sqrt{n}[（n+1）-n]}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$，
=$\frac{1}{2}$；
（3）$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}$，
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+\sqrt{\frac{n+1}{n+2}}}{\sqrt{\frac{n+1}{n+2}}+\sqrt{\frac{n}{n+2}}}$，
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+\sqrt{1-\frac{1}{n+2}}}{\sqrt{1-\frac{1}{n+2}}+\sqrt{1-\frac{2}{n+2}}}$，
=1．

点评 本题主要考查极限的计算问题，其中涉及到的分子有理化的思想，属于中档题．