Question

16．如图，已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，|F₁F₂|=6，P是双曲线右支上的一点，F₂P与y轴交于点A，△APF₁的内切圆在边PF₁上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由|PQ|=1，△APF₁的内切圆在边PF₁上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PF₁|-|PF₂|=2，结合|F₁F₂|=6，即a=1，c=3，由离心率公式，可得出结论．

解答 解：由题意，∵|PQ|=1，△APF₁的内切圆在边PF₁上的切点为Q，
如图，根据切线长定理可得AM=AN，F₁M=F₁Q，PN=PQ，
∵|AF₁|=|AF₂|，
∴AM+F₁M=AN+PN+NF₂，
∴F₁M=PN+NF₂=PQ+PF₂
∴|PF₁|-|PF₂|=F₁Q+PQ-PF₂=F₁M+PQ-PF₂=PQ+PF₂+PQ-PF₂=2PQ=2，
又|F₁F₂|=6，可得c=3，a=1．
∴双曲线的离心率是e=$\frac{c}{a}$=3．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，学生的计算能力，属于中档题．