Question

4．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F₂H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的渐近线方程为（　　）

• A． y=±x
• B． y=±$\sqrt{2}$x
• C． y=±$\sqrt{3}$x
• D． y=±2$\sqrt{2}$x

Answer 1

分析 求出H的坐标，代入双曲线方程，然后转化求解a、b关系，即可得到结果．

解答 解：不妨设垂足H在第一象限，则由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}（x-c）}\end{array}}\right.$，得$H（\frac{a^2}{c}，\frac{ab}{c}）$，
故$M（\frac{1}{2}（\frac{a^2}{c}+c），\frac{ab}{2c}）$，
把点M坐标代入双曲线方程中得$\frac{1}{4}{（\frac{a}{c}+\frac{c}{a}）^2}-\frac{1}{4}{（\frac{a}{c}）^2}=1$．
即有$\frac{c^2}{a^2}=2$，解得a=b，
故双曲线C的渐近线方程为y=±x．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线方程的位置关系，考查转化思想以及计算能力．