Question

6．设函数f（x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}$，则：
（1）证明：f（x）+f（1-x）=1；
（2）计算：f（${\frac{1}{2016}}$）+f（${\frac{2}{2016}}$）+f（${\frac{3}{2016}}$）+…+f（${\frac{2014}{2016}}$）+f（${\frac{2015}{2016}}$）．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（x）+f（1-x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}+\frac{2}{{2+{4^x}}}$，由此能证明f（x）+f（1-x）=1．
（2）令S=$f（{\frac{1}{2016}}）+f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{3}{2016}}）+…+f（{\frac{2014}{2016}}）+f（{\frac{2015}{2016}}）$ ①，则S=f（${\frac{2015}{2016}}$）+f（${\frac{2014}{2016}}$）+f（$\frac{2013}{2016}$）+…+f（${\frac{2}{2016}}$）+f（${\frac{1}{2016}}$）②，①+②，由此能求出结果．

解答 （1）证明：∵f（x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}$，
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}+\frac{{{4^{1-x}}}}{{{4^{1-x}}+2}}$=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}+\frac{4}{{4+2•{4^x}}}$
=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}+\frac{4}{{4+2•{4^x}}}$=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}+\frac{2}{{2+{4^x}}}$=1
（2）解：令S=$f（{\frac{1}{2016}}）+f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{3}{2016}}）+…+f（{\frac{2014}{2016}}）+f（{\frac{2015}{2016}}）$   ①
则S=$f（{\frac{2015}{2016}}）+f（{\frac{2014}{2016}}）+f（{\frac{2013}{2016}}）+…+f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{1}{2016}}）$    ②
两式相加，由（1）得，2S=2015，S=$\frac{2015}{2}$．
∴f（${\frac{1}{2016}}$）+f（${\frac{2}{2016}}$）+f（${\frac{3}{2016}}$）+…+f（${\frac{2014}{2016}}$）+f（${\frac{2015}{2016}}$）=$\frac{2015}{2}$．

点评 本题考查等式成立的证明，考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，是中档题．