Question

5．若一个函数恰有两个零点，则称这样的函数为“双胞胎”函数，若函数f（x）=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|-a-3（a＜0）为“双胞胎”函数，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-$\frac{2}{3}$，+∞）
• B． （-∞，-$\frac{2}{3}$）
• C． （-$\frac{2}{3}$，0）
• D． （-1，-$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 根据题意可知：函数恰有两个零点，构造函数y=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|与y=a+3，则只需两图象有两个交点，记g（x）=ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$，利用导函数判断函数的单调性，求出函数的最值，得出y=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|，利用图象有两交点得出不等式a+3＞1-2a，求解即可．

解答 解：函数f（x）=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|-a-3（a＜0）为“双胞胎”函数，
∴函数恰有两个零点，令f（x）=0，
∴|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|=a+3，
∴两图象有两个交点，记g（x）=ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$，
g'（x）=$\frac{a{x}^{2}-x-a+1}{{x}^{2}}$（x＞0），
令h（x）=ax²-x-a+1，
当a＜0时，h（x）=a（x-1）[x-（$\frac{1}{a}$-1）]×$\frac{1}{a}$-1＜0，
当x在（0，1）时，h（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）递增，
当x在（1，+∞）时，h（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）递减，
∴当a＜0时，g（x）的最大值为g（1）=2a-1；
由a＜0，得2a-1＜-1，
∴g（x）的图象均在x轴下方，
∴y=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|的图象与g（x）的图象关于x轴对称，
即y的最小值为1-2a，在（0，1）递减，（1，+∞）递增，
∴a+3＞1-2a，
∴a＞-$\frac{2}{3}$，a＜0，
故选：C．

点评 考查了零点问题转化为函数交点问题，难点是对函数的构造，利用导函数求函数的最值．