Question

10．若方程x²-2ex+m-$\frac{lnx}{x}$=0有解，则m的取值范围为（-∞，e²+$\frac{1}{e}$]．

Answer 1

分析 移项得m=$\frac{lnx}{x}$+2ex-x²，利用导数判断右侧函数的单调性，求出其值域即为m的范围．

解答 解：∵x²-2ex+m-$\frac{lnx}{x}$=0，∴m=$\frac{lnx}{x}$+2ex-x²，
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$+2ex-x²，则f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}+2e-2x$=$\frac{1-lnx+2{x}^{2}（e-x）}{{x}^{2}}$．
∴当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e）上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，
∴当x=e时，f（x）取得最大值f（e）=e²+$\frac{1}{e}$．
∴f（x）的值域为（-∞，e²+$\frac{1}{e}$]，
∵方程x²-2ex+m-$\frac{lnx}{x}$=0有解，
∴m的取值范围是（-∞，e²+$\frac{1}{e}$]．
故答案为：$（-∞，{e^2}+\frac{1}{e}]$．

点评 本题考查了导数与函数单调性，函数值域，属于中档题．