Question

20．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且$\frac{2a+b}{c}$=$\frac{cos（A+C）}{cosC}$，c=2，则△ABC面积的最大值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用正弦定理化简已知的等式，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0，得到cosC的值，由C为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，由c及cosC的值，利用余弦定理表示出关于a与b的关系式，根据基本不等式及等式的性质得到ab的最大值，由sinC及ab的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答 解：根据正弦定理得：$\frac{2sinA+sinB}{sinC}$=-$\frac{cosB}{cosC}$，
∴2sinAcosC+sinBcosC=-cosBsinC，
整理得：2sinAcosC+sinBcosC+cosBsinC=0，即sinA（2cosC+1）=0，
又∵sinA≠0，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$，又B为三角形的内角，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵c=2，cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴根据余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即4=a²+b²+ab，
又a²+b²≥2ab，即4-ab≥2ab，
∴ab≤$\frac{4}{3}$，即ab的最大值为$\frac{4}{3}$，
则△ABC的面积的最大值S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，基本不等式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．