Question

8．已知向量$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（x，1）．
（1）若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，求x的值；
（2）若＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞为锐角，求x的范围；
（3）当（$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$）⊥（2$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）时，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的共线定理，列出方程求得x的值；
（2）当＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞为锐角时，$\overrightarrow a•\overrightarrow b＞0$，且$\overrightarrow a，\overrightarrow b$不同向，由此求出x的取值范围；
（3）利用（$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$）⊥（2$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）时数量积为0，列出方程求出x的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（x，1），且$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，
∴1×1-2x=0，解得x=$\frac{1}{2}$；
（2）当＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞为锐角时，$\overrightarrow a•\overrightarrow b＞0$，且$\overrightarrow a，\overrightarrow b$不同向，
即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=x+2＞0，解得x＞-2；
又当$x=\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow a，\overrightarrow b$同向，
∴x的取值范围是x＞-2且$x≠\frac{1}{2}$；
（3）$\overrightarrow a+2\overrightarrow b=（1+2x，4）$，
$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）=（2-x，3）$；
当（$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$）⊥（2$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）时，
（2x+1）（2-x）+3×4=0，
即-2×2+3x+14=0，
解得：$x=\frac{7}{2}$或x=-2．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算的应用问题，是基础题目．