Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且．数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1-2b_n=8a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：数列为等差数列，并求{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，是否存在常数λ，使得不等式（n∈N^*）恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）解：当n=1时 ；
当n≥2时 ，
因为a₁=1适合通项公式．
所以 （n∈N^*）． …（5分）
（Ⅱ）证明：因为 b_n+1-2b_n=8a_n，所以 ，即．
所以是首项为=1，公差为2的等差数列．
所以，
所以． …（9分）
（Ⅲ）解：存在常数λ使得不等式（n∈N^*）恒成立．
因为①
所以2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-5）•2^n-1+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹②
由①-②得，
化简得．
因为==，
（1）当n为奇数时，，所以，即．
所以当n=1时，的最大值为，所以只需；
（2）当n为偶数时，，所以，
所以当n=2时，的最小值为，所以只需；
由（1）（2）可知存在，使得不等式（n∈N^*）恒成立．…（13分）
分析：（Ⅰ）根据数列递推式，再写一式，两式相减，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据b_n+1-2b_n=8a_n，可得，从而可得是首项为=1，公差为2的等差数列，由此可求{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）存在常数λ使得不等式（n∈N^*）恒成立．利用错位相减法求数列的和，再分类讨论，利用分离参数法，即可得到结论．
点评：本题考查数列的通项，考查等差数列的证明，考查数列的求和，考查存在性问题的探究，考查分离参数法的运用，属于中档题．