Question

直线l₁和l₂是圆x²+y²=2的两条切线，若l₁与l₂的交点为（1，3），则l₁与l₂的夹角的正切值等于

 

．

Answer 1

考点：两直线的夹角与到角问题

专题：直线与圆

分析：设l₁与l₂的夹角为2θ，由于l₁与l₂的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=

r

OA

的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

，计算求得结果．

解答： 解：设l₁与l₂的夹角为2θ，由于l₁与l₂的交点A（1，3）在圆的外部，
且点A与圆心O之间的距离为OA=

1+9

=

10

，
圆的半径为r=

2

，
∴sinθ=

r

OA

=

2

10

，
∴cosθ=

2 2

10

，tanθ=

sinθ

cosθ

=

1

2

，
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

1

1- 1 4

=

4

3

，
故答案为：

4

3

．

点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．